Question

在△ABC中，AD⊥BC，在BC边上任取一点P，（P不与B、C重合），过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF．

（1）如图1，当△ABC为等腰直角三角形时，试说明△DEF与△ABC相似；
（2）如图2，当△ABC为任意直角三角形时，△DEF与△ABC还相似吗？说明理由；
（3）如图2，如果△ABC为直角三角形，且AB=3，AC=4，当点P在BC边上运动到何处时，△DEF的面积最小？面积最小值为多少？简要说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AD=BD=CD，∠BAD=∠C=45°，
∵∠PEA=∠EAF=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AE=PF，
∵∠FPC=∠C=45°，
∴PF=CF，
∴AE=CF，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF；
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴△DEF与△ABC相似．

（2）解：△DEF与△ABC仍相似，理由如下：
同（1）可知：四边形AEDF是矩形，则PF=AE；
∵∠PFC=∠ADC=90°，∠C公共，
∴△CFP∽△CAD，则有：，
又∵∠EAD=∠FCD，
∴△FCD∽△EAD；
∴∠ADE=∠CDF，即∠EDF=90°；
且；
又∵∠EDF=∠BAC，
∴△EDF∽△BAC．

（3）解：若△ABC是直角三角形，且AB=3，AC=4，则：
BC=5，S_△ABC=AB•AC=6；
设CP=5x，依题意，则有：
CF=4x，PF=AE=3x，AF=AC-AF=4-4x；
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
EF²=AE²+AF²=9x²+（4-4x）²=25x²-32x+16；
∵△DEF∽△ABC，
∴=（）²，即=；
∴S_△DEF=6x²-x+=6（x-）²+，
故当x=，即CP=时，△DEF的面积最小；
由于CD==，所以当P运动到和D点重合时，△AEF的面积最小，且最小值为．
分析：（1）若△ABC是等腰直角三角形，则△CPF也是等腰直角三角形，即CF=PF，易证得四边形PEAF是矩形，则CF=PF=AE，然后可证△ADE≌△CDF，通过全等三角形所得到的等角和等边，来证得△DEF是等腰直角三角形，由此说明△DEF与△ABC相似．
（2）题（1）的结论仍然成立，方法与（1）稍有不同，证全等改为证相似；由于PF⊥AC，易证得△CFP∽△CDA，得CF：PF=CD：AD，同（1）可证得PF=AE，即CF：AE=CD：AD，而它们的夹角∠EAD=∠FCD，由此可证得△CFD∽△AED，然后按照（1）的方法，根据相似三角形得到的等角和比例线段，来证得Rt△EDF∽Rt△BAC．
（3）欲求△DEF的面积最小值，需求得△DEF的面积表达式，设CP=5x，根据勾股定理易求得BC的长，那么即可用x表示出PF、CF的长，进而可得AE、AF的长，利用勾股定理可求出EF的表达式，（2）题中已证得△DEF∽△ABC，因此它们的面积比等于相似比的平方，△ABC的面积易求得，即可得到关于△DEF的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可求得△DEF的最小面积以及对应的x的值，由此可确定CP的长，即可判断出P点在线段BC上的位置．
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质；（2）题中，要根据两步相似来证所求的结论，（3）题中熟练掌握相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）是解决问题的关键．