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    23、已知：关于x的一元二次方程x2+2（2-m）x+3-6m=0．
    （1）求证：x无论为任何实数，方程总有实数根；
    （2）抛物线y=x2+2（2-m）x+3-6m与x轴交于A、B两点，A在原点左侧，B在原点右侧，且OA=3OB，请确定抛物线的解析式；
    （3）将（2）中的抛物线沿x轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新的抛物线，请结合函数图象回答：当直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m的取值范围．
    分析：（1）要想证明x无论为任何实数，方程总有实数根，△≥0即可证明；
    （2）先解方程，得出两个解，再根据OA与OB的关系求出m值，即可求出抛物线的解析式；
    （3）观察两个抛物线的图象，便可知道当m＞-4且m≠-3时，直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点．
    解答：（1）证明：△=[2（2-m）]2-4（3-6m）
    =4（m+1）2（1分）
    m为任何实数时，（m+1）2≥0，4（m+1）2≥0．
    即：△≥0（2分）
    x无论为任何实数，方程总有实数根．

    （2）解：由题意得，x2+2（2-m）x+3-6m=0
    解得，x1=-3，x2=2m-1（3分）
    A（-3，0）．B（2m-1，0）
    ∵OA=3OB，
    ∴3=3（2m-1）
    解得，m=（14分）y=x2+2x-3；（5分）

    （3）解：由图象可知，两个图象交于（0，-3）
    当m＞-4且m≠-3时，直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点．（7分）
    点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和方程有实数根的证明知识点，是各地中考的热点和难点，，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+n）x+m+n=0①．
    （1）求证：方程①有两个实数根；
    （2）求证：方程①有一个实数根为1；
    （3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx2-（2m+n）x+m+n的解析式；
    （4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    5、已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，m＜5且m为整数．
    （1）求m的值；
    （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2-2（m+1）x+m2的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；
    （3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：关于x的一元二次方程x2-2x+c=0的一个实数根为3．
    （1）求c的值；
    （2）二次函数y=x2-2x+c，当-2＜x≤2时，y的取值范围；
    （3）二次函数y=x2-2x+c与x轴交于点A、B（A左B右），顶点为点C，问：是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍后得到△DEF（即△EDF∽△ABC，相似比为2），使得点D、E恰好在二次函数上且DE∥AB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•延庆县二模）已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+2）x+m-1=0
    （1）若此方程有实根，求m的取值范围；
    （2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；
    （3）在（2）的前提下，二次函数y=mx2-（2m+2）x+m-1与x轴有两个交点，连接这两点间的线段，并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆P，设直线l的解析式为y=x+b，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．

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