Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且CF=1，在△AEF中作正方形A₁B₁C₁D₁，使边A₁B₁在AF上，其余两个顶点C₁、D₁分别在EF和AE上．
（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；
（2）求AF的长及正方形A₁B₁C₁D₁的边长；
（3）在（2）的条件下，取出△AEF，将△EC₁D₁沿直线C₁D₁、△C₁FB₁沿直线C₁B₁分别向正方形A₁B₁C₁D₁内折叠，求小正方形A₁B₁C₁D₁未被两个折叠三角覆盖的四边形面积．

Answer 1

分析：（1）图中满足直角边之比等于1：2的直角三角形共有6个，Rt△CEF与Rt△ADE比较明显，打开找出另外四个之一的“缺口”是证出∠AEF=90°．下面给出两种思路：思路一是先证出△ADE∽△ECF，得到∠FEC=∠EAD，结合Rt△ADE中有∠DEA+∠EAD=90°，可得∠DEA+∠FEC=90°，从而∠AEF=90°．思路二是在△ADE、△ECF和△ABF中分别使用勾股定理求出AE、EF和AF的长，再由勾股定理的逆定理证出∠AEF=90°；
（2）由EM×AF=AE×EF=2S_△AEF可以求出EM=2，另外由△D₁C₁E∽△AFE得出

EN

EM

=

D1C1

AF

是利用了“相似三角形对应高的比等于相似比”这一性质，这也是解决形如图2问题的基本方法．该小题如果注意到△AA₁D₁与△C₁B₁F都是直角边之比等于1：2的直角三角形的话，不添辅助线也可得出答案：设正方形A₁B₁C₁D₁的边长为x，则AA₁=2x，B₁F=

1

2

x，因为AA₁+A₁B₁+B₁F=AF=5，所以2x+x+

1

2

x=5，解得正方形的边长x=

10

7

；
（3）如何说明△EC₁D₁沿直线C₁D₁、△C₁FB₁沿直线C₁B₁分别向正方形A₁B₁C₁D₁内折叠以后两个三角形的交界处既不重叠又没有空隙是一个难点，比较容易忽略，值得引起重视．下面给出一种另解供参考：由△E₁C₁D₁、△C₁B₁F₁分别由△EC₁D₁、△C₁FB₁折叠而成，可得∠3=∠4、∠1=∠2，因为正方形A₁B₁C₁D₁中有∠D₁C₁B1=90°，所以∠4+∠1=180°-90°=90°，即∠2+∠3=90°=∠D₁C₁B₁，从而C₁E₁与C₁F₁重合在一条直线上（或三点C₁、E₁、F₁在一条直线上）．

解答：解：（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA₁D₁、
Rt△ED₁C₁、Rt△C₁B₁F．（写出其中三个即可）

（2）AF=

AB2+BF2

=5
过E作EM⊥AF，垂足为M，交D₁C₁于N，则
∵AD=4，DE=EC=2，CF=1，
∴EF=

5

，AE=

AD2+DE2

=2

5

，
∵EM×AF=AE×EF=2S_△AEF，即5EM=

5

×2

5

，
∴EM=2，
∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形
∴D₁C₁∥AF
∴△D₁C₁E∽△AFE
∴

EN

EM

=

D1C1

AF

设正方形A₁B₁C₁D₁的边长为x，则

2-x

2

=

x

5

解得x=

10

7

∴正方形A₁B₁C₁D₁的边长为

10

7

．

（3）∵D₁C₁=

10

7

，EN=2-

10

7

=

4

7

∴S_△D1EC1=

1

2

×

10

7

×

4

7

=

20

49

∴

C1B1

B1F

=

2

1

，C₁B₁=

10

7

∴B₁F=

5

7

∴S_△C1B1F1=

1

2

×

10

7

×

5

7

=

25

49

∵∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°
∴∠3=∠4
∴E₁点在C₁F₁上
又∵S正方形A1B1 C1D1=（

10

7

）²=

100

49

∴S_{未被覆盖四边形}=

100

49

-

25

49

-

20

49

=

55

49

．

点评：本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．