Question

（2012•天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m=

1

6

t2-

11

6

t+6，即可求得t的值．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．
∵OP²=OB²+BP²，
即（2t）²=6²+t²，
解得：t₁=2

3

，t₂=-2

3

（舍去）．
∴点P的坐标为（2

3

，6）．

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ．
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴

OB

PC

=

BP

CQ

，
由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11-t，CQ=6-m．
∴

6

11-t

=

t

6-m

．
∴m=

1

6

t2-

11

6

t+6（0＜t＜11）．

（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴

PE

AC′

=

PC′

C′Q

，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m，
∴AC′=

C′Q2-AQ2

=

36-12m

，
∴

6

36-12m

=

11-t

6-m

，
∴

36

12(3-m)

=(

11-t

6-m

)2，
∴3（6-m）²=（3-m）（11-t）²，
∵m=

1

6

t2-

11

6

t+6，
∴3（-

1

6

t²+

11

6

t）²=（3-

1

6

t²+

11

6

t-6）（11-t）²，
∴

1

12

t²（11-t）²=（-

1

6

t²+

11

6

t-3）（11-t）²，
∴

1

12

t²=-

1

6

t²+

11

6

t-3，
∴3t²-22t+36=0，
解得：t₁=

11- 13

3

，t₂=

11+ 13

3

，
点P的坐标为（

11- 13

3

，6）或（

11+ 13

3

，6）．

法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′，
∴OC′=PC′=PC=11-t，
过点P作PE⊥OA于点E，
则PE=BO=6，OE=BP=t，
∴EC′=11-2t，
在Rt△PEC′中，PE²+EC′²=PC′²，
即（11-t）²=6²+（11-2t）²，
解得：t₁=

11- 13

3

，t₂=

11+ 13

3

．
点P的坐标为（

11- 13

3

，6）或（

11+ 13

3

，6）．

点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．