Question

如图，已知弦AB等于半径，连接OB并延长使BC=OB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）请你在⊙O上选取一点D，使得AD=AC．（自己完成作图，并给出证明过程）

Answer 1

分析：（1）BC=OB=AB，根据三角形等边对等角，以及三角形内角和定理，即可证明∠OAC=90度，即可得到AC是圆的切线；
（2）①作BO延长线交⊙O于D，连接AD，根据△AOD≌△ABC即可证得；
②如图，在圆上取一点D′，使得∠D′OA=120°，连接AD′，根据△AOD′≌△ABC，即可求证．

解答：（1）证明：∵AB=OB=BC，
∴∠CAB=∠ACB=

1

2

∠OBA=30°，（2分）
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=60°+30°=90°．
即OA⊥CA．
∴AC是⊙O的切线．（4分）

（2）解：①作BO延长线交⊙O于D，连接AD．

CB=BO=OD， AB=AO， ∠CBA=180°-∠ABO=180°-∠BOA=∠AOD

∴△AOD≌△ABC，
∴AD=AC．
所以D点为所求．
②如图，在圆上取一点D′，使得∠D′OA=120°，连接AD′．

AO=AB BC=OD′ ∠ABC=∠AOD′

∴△AOD′≌△ABC
∴AD′=AC（9分）
所以D′点也为所求．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．