Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点O在AB上，以O为圆心的圆分别与边AC、BC切于D，E两点，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：连接OD，OE，由AC与BC都为圆的切线，利用切线的性质得到OD与AC垂直，OE与BC垂直，得到一对直角相等，再由∠C=90°，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形ODCE为矩形，再由OD=OE，利用邻边相等的矩形为正方形得到ODCE为正方形，设圆的半径为r，得到OD=CD=r，由AC-CD表示出AD，再由三角形ADO与三角形ACB相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径．

解答：解：连接OD，OE，
∵AC、BC为圆O的切线，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
又∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
又∵OD=OE，
∴四边形PDCE为正方形，
∴△ADO∽△ACB，
∴

AD

AC

=

OD

BC

，
设圆的半径为r，则有OD=CD=OE=CE=r，
∴AD=AC-CD=4-r，
∴

4-r

4

=

r

2

，
解得：r=

4

3

，
则圆O的半径为

4

3

．

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，利用了方程的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．