Question

（1）是否存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？
（2）设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m（m+k）=n（n+1）？

Answer 1

解：（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1），则（m+1）²=n²+n+1，显然n＞1，于是n²＜n²+n+1＜（n+1）²，所以，n²+n+1不是平方数，矛盾．
（2）当k=3时，若存在正整数m，n，满足m（m+3）=n（n+1），则4m²+12m=4n²+4n，（2m+3）²=（2n+1）²+8，（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8，（m-n+1）（m+n+2）=2，而m+n+2＞2，故上式不可能成立．
当k≥4时，若k=2t（t是不小于2的整数）为偶数，取m=t²-t，n=t²-1则m（m+k）=（t²-t）（t²+t）=t⁴-t²，
n（n+1）=（t²-1）t²=t⁴-t²，因此这样的（m，n）满足条件．若k=2t+1（t是不小于2的整数）为奇数，取
m=，n=则m（m+k）=（+2t+1）=（t⁴+2t³-t²-2t），n（n+1）==（t⁴+2t³-t²-2t），因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当k=3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．
分析：（1）m（m+2）=n（n+1）可以变化成（m+1）²=n²+n+1，若存在，则n²+n+1即是一个平方数，即可判断；
（2）当k=3时，利用与（1）相同的方法即可证明；
当k≥4时，可以分k是偶数与奇数两种情况进行讨论，当k是偶数时，可以设k=2t（t是不小于2的整数），代入式子进行讨论；当k是奇数时，可以设k=t+1（t是不小于2的整数），代入即可判断．
点评：本题主要考查了整数的奇偶性，正确对k的范围进行分类，根据k的奇偶性对已知的式子m（m+k）=n（n+1）进行变形是解题的关键．