Question

（2013•思明区一模）如图，抛物线y=ax²-bx+c（a＞1）过点A（1，0），且对称轴为x=2，直线y=kx+m（k＞0）与抛物线交于点A和点B．
（1）求a：b：c；
（2）过抛物线的顶点P作直线l∥x轴，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足为点C、D，比较AC+BD与CD的大小．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²-bx+c（a＞1）过点A（1，0），且对称轴为x=2，可得a、b、c之间的关系，从而可求a：b：c；
（2）联立直线和抛物线的解析式，得到A、B两点的坐标，根据两点之间的距离公式可得AC、BD、CD之间的距离，进行比较即可得出AC+BD与CD的大小．

解答：（1）解：∵抛物线y=ax²-bx+c（a＞1）过点A（1，0），且对称轴为x=2，
∴-

-b

2a

=2，
∴b=4a，
又∵a-b+c=0，
∴c=3a，
∴a：b：c=1：4：3；

（2）解：AC+BD＞CD，
∵直线y=kx+m（k＞0）过点A（1，0），
∴k+m=0
即m=-k
∴y=kx-k，
由y=ax²-4a+3a，得顶点P（2，-a），
解

y=ax2-4a+3a y=kx-k

，得

xA=1 yA=0

，

xB= k a +3 yB= k2+2ak a

，
∵直线y=kx+m的k＞0
∴y随x的增大而增大
∴y_B＞y_A=0
∵直线l∥x轴，AC⊥l、BD⊥l
∴C（1，-a），D(

k+3a

a

，-a)
∴AC=a，BD=

k2+2ak+a2

a

，CD=

k+2a

a

（法1）：AC+BD-CD=a+

k2+2ak+a2

a

-

k+2a

a

=

1

a

[a2+(a+k)2-(k+2a)]=

1

a

[a2-a+(a+k)2-(k+a)]=

1

a

[a(a-1)+(a+k)(a+k-1)]
∵a＞1且k＞0
∴a-1＞0，a+k-1＞0
∴

1

a

[a(a-1)+(a+k)(a+k-1)]＞0
∴AC+BD＞CD
（法2）：

AC+BD

CD

=

a2+(k+a)2

k+2a

∵a＞1且k＞0
∴a+k＞1
∴a²＞a，（a+k）²＞a+k
∴a²+（a+k）²＞a+a+k=2a+k
∴

a2+(k+a)2

k+2a

＞1，
∴AC+BD＞CD．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：代入法，对称轴公式，方程思想，两点之间的距离公式，线段的大小比较，综合性较强，有一定的难度．