[题目]如图.在平行四边形ABCD中.CE⊥BC交AD于点E.连接BE.点F是BE上一点.连接CF．(1)如图1.若∠ECD＝30°.BC＝4.DC＝2.求tan∠CBE的值,(2)如图2.若BC＝EC.过点E作EM⊥CF.交CF延长线于点M.延长ME.CD相交于点G.连接BG交CM于点N且CM＝MG.①在射线GM上是否存在一点P.使得△BCP≌△ECG?若存在.请指出点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．

（1）如图1，若∠ECD＝30°，BC＝4，DC＝2，求tan∠CBE的值；

（2）如图2，若BC＝EC，过点E作EM⊥CF，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N且CM＝MG，

①在射线GM上是否存在一点P，使得△BCP≌△ECG？若存在，请指出点P的位置并证明这对全等三角形；若没有，请说明理由．

②求证：EG＝2MN．

【答案】（1）；（2）①详见解析；②详见解析.

【解析】

(1)由平行四边形的性质和已知条件得出∠BCE＝∠CED＝90°，由直角三角形的性质得出DE＝CD＝1，CE＝，由三角函数定义即可得出结果；

（2）①由等腰直角三角形的性质得出∠MCG＝∠MGC＝45°，由线段垂直平分线的性质得出CP＝CG，得出∠CPM＝∠CGM＝45°，求出∠PCG＝90°，得出∠BCP＝∠ECG，由SAS证明△BCP≌△ECG即可；

②由全等三角形的性质得出BP＝EG，∠BPC＝∠EGC＝45°，得出∠BPG＝90°，证出BP∥MN，得出BN＝GN，MN是△PBG的中位线，由三角形中位线定理得出BP＝2MN，即可得出结论．

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵CE⊥BC，

∴CE⊥AD，

∴∠BCE＝∠CED＝90°，

∵∠ECD＝30°，DC＝2，

∴DE＝CD＝1，

∴CE＝，

∴tan∠CBE＝；

（2）①解：在射线GM上存在一点P，MP＝MG时，△BCP≌△ECG；理由如下：

如图2所示：

∵CM＝MG，

∴△CMG是等腰直角三角形，

∴∠MCG＝∠MGC＝45°，

∵MP＝MG，EM⊥CF，

∴CP＝CG，

∴∠CPM＝∠CGM＝45°，

∴∠PCG＝90°，

∴CP⊥CG，

∵∠BCE＝∠PCG＝90°，

∴∠BCP＝∠ECG，

在△BCP和△ECG中，

，

∴△BCP≌△ECG（SAS）；

②证明：由①得：△BCP≌△ECG，

∴BP＝EG，∠BPC＝∠EGC＝45°，

∴∠BPG＝90°，

∴BP∥MN，

∵PM＝GM，

∴BN＝GN，

∴MN是△PBG的中位线，

∴BP＝2MN，

∴EG＝2MN

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