Question

如图，已知点C（4，0）是正方形AOCB的一个顶点，E是AB边的中点．
（1）直接写出点E的坐标；
（2）若双曲线（x＞0）经过点E，且与BC交于点F，连接OE、OF．
①求△OEF的面积；
②探究：经过点E是否存在直线L：y=mx+n，使得线段OE，直线L及x轴三者所围成的三角形的面积等于△OEF的面积？若存在，求出直线L的关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵C点坐标为（4，0），四边形AOCB为正方形，
∴OC=BC=4，
∴B点坐标为（4，4），
又∵E是AB边的中点，
∴E点坐标为（2，4）．

（2）①作EG⊥x轴于G，
∵S_△OEG=S_△OFC，
∴S_△OEG-S_△OHG=S_△OFC-S_△OHG，
∴S_△OH=S_{四边形FHEC}，
∴S_△OEEF=S_梯形FCGE=（FC+EG）•GC=×（2+4）×2=6．
②存在．
∵由（1）可知，E点坐标为（2，4），由（2）知_△OEEF=6，
∴设直线L与x轴的交点为（x，0），则|x|•FG=6，即|x|×4=6，解得x=±3，
∴直线L与x轴的交点为（±3，0），
当直线经过点（3，0）时，设直线L的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得
∴此时直线L的解析式为：y=-4x+12；
同理，当当直线经过点（-3，0）时，设直线L的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴此时直线L的解析式为：y=x+．
故直线L的解析式为：y=-4x+12或y=x+．
分析：（1）根据正方形的性质及C点坐标，求出B点坐标，再根据E是AB边的中点，求出E点坐标．
（2）①根据反比例函数k的几何意义，求出S_△OEG=S_△OFC，再根据S_△OEG-S_△OHG=S_△OFC-S_△OHG得知S_△EOH=S_{四边形FHEC}，再根据S_△EOF=S_梯形FCGE，求出梯形面积即可．
②先设出直线与x轴的交点为x，再根据△OEF的面积列出关于x的方程，求出x的值即可．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数的解析式及三角形的面积公式，涉及面较广，难度适中．