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    已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD=16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．

    （1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；
    （2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长；
    （3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径（PO＞0）的⊙P，试求
    ①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围；
    ②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围．
    分析：（1）根据菱形性质得出∠ABD=∠ADB，根据相似三角形的判定推出即可；
    （2）连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，求出FM长，得出CP取最小值时PE+PF+CP的值最小，得出P和O重合，求出即可；
    （3））①过P作PG⊥BC于G，设PB=x，当P在线段BO上时，PO=8-x，PG=
    3
    5
    x，当OP=PB时，⊙P经过P点，8-x=x，求出x的值，即可得出答案；②根据①的结果即可得出答案．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
    ∴∠ABD=∠ADB，
    ∵PE⊥AB，PF⊥AD，
    ∴∠BEP=∠DFP=90°，
    ∴△PBE∽△PDF；

    （2）如图1，连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，
    则FM⊥BC，
    ∵菱形ABCD，
    ∴∠ABD=∠CBD，
    ∵PM⊥BC，PE⊥AB，
    ∴PE=PM，
    ∴PE+PF=PM+PF=FM，
    在直角三角形AOB中，BO=
    1
    2
    BD=8，
    ∴AO=
    		AB2-BO2
    =
    		102-82
    =6，
    ∴AC=2AO=12，
    ∵S菱形ABCD=
    1
    2
    AC•BD=BC•FM，
    ∴FM=
    48
    5
    ，
    因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值，
    所以当CP⊥BD时，即P和O重合时，PC最小，此时BP=BO=
    1
    2
    BD=8．

    （3）①过P作PG⊥BC于G，设PB=x，当P在线段BO上时，PO=8-x，PG=
    3
    5
    x，
    如图2、当PO=PG时，⊙P与直线BC相切，8-x=
    3
    5
    x，x=5；
    如图3、当OP=PB时，⊙P经过B点，8-x=x，x=4，
    即当0＜x≤4或x=5时，⊙P与线段BC有一个公共点，
    ∴⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围是0＜BP≤4或BP=5时；
    ②由①知：当4＜x＜5时，⊙P与线段BC有两个公共点，
    当P在线段OD上时，PO=x-8，PG=
    3
    5
    x，
    当PO=PG时，⊙P与直线BC相切，x-8=
    3
    5
    x，
    x=20＞BD，
    即此时⊙P不可能与直线BC相切，更不可能相交，
    综合所述，4＜BP＜5时，⊙P与直线BC有两个公共点，
    即⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围是4＜BP＜5．
    点评：本题考查了切线的判定，直线与圆的位置关系，解一元一次方程等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，注意：要进行分类讨论啊．
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    （2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求PB的长；
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    （1）对角线BD长为
    16
    16
    ；
    （2）设PB=x，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求x的值．

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