Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：直线DF是⊙O的切线；

（2）求证：BC2＝4CFAC；

（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4π﹣3

【解析】

（1）如图所示，连接OD，证明∠CDF+∠ODB＝90°，即可求解；

（2）证明△CFD∽△CDA，则CD2＝CFAC，即BC2＝4CFAC；

（3）S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE即可求解．

解：（1）如图所示，连接OD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠CDF+∠C＝90°，

∴∠CDF+∠ODB＝90°，

∴∠ODF＝90°，

∴直线DF是⊙O的切线；

（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，

则DB＝DC=BC，

∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，

∴∠CDF＝∠DAC，

∵∠DFC＝∠ADC＝90°，

∴△CFD∽△CDA，

∴CD2＝CFAC，即BC2＝4CFAC；

（3）连接OE，

∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，

∴∠OAE＝30°＝∠OEA，

∴∠AOE＝120°，

S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×2×cos30°×2×sin30°＝3，

S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×（2）2﹣3＝4π﹣3．