Question

     如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点在坐标轴上，，．动点从点出发，以的速度沿轴匀速向点运动，到达点即停止．设点运动的时间为．

（1）过点作对角线的垂线，垂足为点．求的长与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）在点运动过程中，当点关于直线的对称点恰好落在对角线上时，求此时直线的函数解析式；

（3）探索：以三点为顶点的的面积能否达到矩形面积的？请说明理由．

Answer 1

在矩形中，，，

．

　　　　，．

　　　　，即，．

　　　　当点运动到点时即停止运动，此时的最大值为．

　　　　所以，的取值范围是．(2分）

　　　　（2）当点关于直线的对称点恰好在对角线上时，三点应在一条直线上（如答图2）．

　　　　，．

　　　　，

．

　　　　．点的坐标为．(1分）

　　　　设直线的函数解析式为．将点和点代入解析式，得解这个方程组，得

　　　　　此时直线的函数解析式是．（2）

　　　　　（3）由（2）知，当时，三点在一条直线上，此时点　不构成三角形．(2分）

　　　　　故分两种情况：

　　　　　（i）当时，点位于的内部（如答图3）．

过点作，垂足为点，由

可得．

　　　　　

　　　　　．

　　　　　若，则应有，即．

　　　　　此时，，所以该方程无实数根．

　　　　　所以，当时，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．(2分）

　　　　　（ii）当时，点位于的外部．（如答图4）

　　　　　此时．

　　　　　若，则应有，即．

　　　　　解这个方程，得，（舍去）．

　　　　　由于，．

　　　　　而此时，所以也不符合题意，故舍去．

　所以，当时，以为顶点的的面积也不能达到矩形面积的．(2分）

　综上所述，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．(1分）