Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，连接，，，直线交轴于点，点到两坐标轴的距离相等．点到两坐标轴的距离也相等．

（1）求点，的坐标并直接写出的形状；

（2）若点为线段上的一个动点（不与点，重合），连接，当为等腰三角形时，求点的坐标；

（3）若点为轴上一动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；；直角三角形 （2）或或 （3），

【解析】

（1）设点的坐标是，代入，即可得到A的坐标，同理，可得到B的坐标，进而即可判断的形状；

（2）先求出直线的解析式为：，进而得到点C的坐标，再求出直线的解析式为：，然后分3种情况：或或，分别求出点P的坐标，即可；

（3）过点作轴于点，过点作轴于点．易证，得，进而即可得到答案．

（1）∵点在第二象限，

∴设点的坐标是，

∵点在抛物线上，

∴，解得：，（舍去），

∴点的坐标是．

同理可得：点的坐标是．

∴∠AOC=∠BOC=45°，即：∠AOB=90°，

∴是直角三角形；

（2）设直线的解析式为：．

∴，解得：，

∴直线的解析式为：，

∴点的坐标为．

∵直线过点，，

∴直线的解析式为：．

∵为等腰三角形，

∴或或．

设，

①当时，，解得：，（舍去）．

∴．

②当时，点在线段的中垂线上，

∴．

③当时，由，解得：，（舍去）．

∴．

∴点坐标为：或或；

（3）过点作轴于点，过点作轴于点．

∵点为轴上一动点，

∴设，

当时，可得：，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，解得：，，

∴，．