Question

【题目】在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，点为中点，点在射线上，把线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的横坐标为．请根据题意画出图形并完成下列问题：

（1）求的长；

（2）设点的横坐标为，求与的关系式；

（3）在（2）的条件下，作点关于直线的对称点，连接，当为等腰三角形时，求点的横坐标的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）﹣5或－1或3．

【解析】

（1）在Rt△ABO中，根据OA=4，∠BAO=60°解直角三角形即可得到AB的长．作图分两种情况：①点D在A的下方，②点D在线段AB上；

（2）分三种情况讨论：①当D在A的下方时，作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．

由点D的横坐标为t，A的横坐标为-4，得出t＜-4．用待定系数法求出直线AB的解析式为yx+4．设D(t，t+4)．通过证明△CDM≌△ECN，得到EN=CM，CN=DM．解直角三角形CAM得到AM，CM的长．利用两点间距离公式得到AD．由t＜-4，得到AD=﹣8﹣2t，DM=﹣7﹣2t，CN=DM=﹣7﹣2t，ON=﹣5﹣2t，即可得到结论；

②当D在A的上方线段AB上，E在第二象限时，作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．由点D的横坐标为t，A的横坐标为-4，得到t＞-4．同①可得：AM=1，CM=，AD==8+2t，DM=7+2t，CN=DM=7+2t，ON=﹣5﹣2t，即可得到结论；

③当D在A的上方线段AB上，E在第一象限时，同②可得结论；

（3）连接EF、FC、DF．设EC和DF相交于点H．证明四边形DCFE是菱形，得到H平分DF和EC．设F(x，y)．由中点坐标公式可得x，y的值，从而得到F的坐标，表示出，，，然后分三种情况讨论，解方程即可．

（1）∵C(﹣2，0)，

∴OC=2．

∵C为OA的中点，

∴OA=2OC=4．

∵∠BAO=60°，

∴∠ABO=30°，

∴OB=AC=，AB=2AO=8；

作图分两种情况：①点D在A的下方，如图1；②点D在线段AB上，如图2．

（2）分三种情况讨论：①当D在A的下方时，如图3．

作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．

∵点D的横坐标为t，A的横坐标为-4，

∴t＜-4．

∵B(0，4)，A(﹣4，0)，

∴设直线AB的解析式为，把A(﹣4，0)代入得：，解得：，

∴直线AB的解析式为yx+4．

设D(t，t+4)．

∵∠DCE=∠BAC=60°，

∴∠ECN+∠ACD=∠ACD+∠CDM，

∴∠CDM=∠ECN，

在△CDM和△ECN中，

，

∴△CDM≌△ECN，

∴EN=CM，CN=DM．

∵AC=2，∠CAM=60°，

∴AM=1，CM=．

∵D(t，t+4)，A(-4，0)，

∴AD=．

∵t＜-4，

∴AD=﹣8﹣2t，

∴DM=﹣7﹣2t，

∴CN=DM=﹣7﹣2t，

∴ON=﹣5﹣2t，

∴点E坐标(2t+5，)，

∴E点横坐标d=2t+5，

②当D在A的上方线段AB上，E在第二象限时，如图4，作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．

∵点D的横坐标为t，A的横坐标为-4，

∴t＞-4．

同①可得：直线AB的解析式为yx+4，AM=1，CM=，AD=．

∵t＞-4

∴AD=8+2t，DM=7+2t，

∴CN=DM=7+2t，

∴ON=OC－CN=2－(7+2t)=﹣5﹣2t，

∴点E坐标(2t+5，)，

∴E点横坐标d=2t+5．

③当D在A的上方线段AB上，E在第一象限时，如图5，作CM⊥AB于M，EN⊥OA于N．

∵点D的横坐标为t，A的横坐标为-4，

∴t＞-4．

同②可得：直线AB的解析式为yx+4，AM=1，CM=，AD=．

∵t＞-4，

∴AD=8+2t，DM=7+2t，

∴CN=DM=7+2t，

∴ON=CN－OC=(7+2t)－2=2t+5，

∴点E坐标(2t+5，)，

∴E点横坐标d=2t+5．

综上所述：E点横坐标d=2t+5．

（3）如图6，连接EF、FC、DF．设EC和DF相交于点H．

∵D、F关于直线EC对称，

∴DE=EF，DC=CF．

∵△DCE是等边三角形，

∴DE=DC，

∴DE=DC=FC=EF=EC，

∴四边形DCFE是菱形，

∴H平分DF和EC．

设F(x，y)．

∵C(﹣2，0)，E(2t+5，)，D(t，t+4)，

∴，

解得：，

∴D关于CE的对称点F点的坐标为(t+3，)．

∵A(-4，0)，F(t+3，)

∴=16，=，

==．

∵△OAF是等腰三角形，

∴分三种情况讨论：

①当OA=OF时，=，

∴，

解得：t=－5或t=－1，

∴d=2t+5=－5或3；

②当OF=AF时，=，

∴，

∴，

解得：t=－5，

∴d=2t+5=－5；

③当AF=OA时，=，

∴，

∴，

解得：t=－3或t=－5，

∴d=2t+5=－1或－5．

综上所述：d的值为－5或－1或3．