Question

【题目】阅读下面材料，回答问题

距离能够产生美．

唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．

当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：

“世界上最遥远的距离

不是瞬间便无处寻觅

而是尚未相遇

便注定无法相聚”

距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．

已知点 A，B 在数轴上分别表示有理数 a，b，A，B 两点之间的距离表示为 AB．

（）当 A，B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1，．

（）当 A，B 两点都不在原点时，

①如图 2，点 A，B 都在原点的右边，；

②如图 3，点 A，B 都在原点的左边，；

③如图 4，点 A，B 在原点的两边，．

综上，数轴上 A，B 两点的距离 ．

利用上述结论，回答以下三个问题：

（1）若数轴上表示 和的两点之间的距离是，则 ；

（2）若代数式 取最小值时，则的取值范围是 ；

（3）若未知数 ， 满足 ，则代数式 的最大值是 ，最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）-6或2；（2）-1≤x≤2；（3）7，-1；

【解析】

（1）把问题转化为绝对值方程，即可解决问题．
（2）若代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，表示在数轴上找一点x，到-1和2的距离之和最小，显然这个点x在-1和2之间（包括-1，2），由此即可解决问题．
（3））因为（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，又因为|x-1|+|x-3|的最小值为2，|y-2|+|y+1|的最小值为3，所以1≤x≤3，-1≤y≤2，由此不难得到答案．

（1）若数轴上表示x和-2的两点之间的距离是4，
则|x+2|=4，
解得x=-2-4=-6或x=-2+4=2．
故答案为-6或2．
（2）若代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，表示在数轴上找一点x，到-1和2的距离之和最小，显然这个点x在-1和2之间（包括-1，2），
∴x的取值范围是-1≤x≤2，
故答案为-1≤x≤2．
（3）∵（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，
又∵|x-1|+|x-3|的最小值为2，|y-2|+|y+1|的最小值为3，
∴1≤x≤3，-1≤y≤2，
∴代数式x+2y的最大值是7，最小值是-1．
故答案为7，-1．