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    开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴的交点为A、B（A在B的左边），与y轴交于点C．连接AC、BC．
    （1）若△ABC是直角三角形（图1），求二次函数的解析式；
    （2）在（1）的条件下，将抛物线沿y轴的负半轴向下平移k（k＞0）个单位，使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，求k的值；
    （3）当点C坐标为（0，4）时（图2），P、Q两点同时从C点出发，点P沿折线C?O?B运动到点B，点Q沿抛物线（在第一象限的部分）运动到点B，若P、Q两点的运动速度相同，请问谁先到达点B？请说明理由．（参考数据：，）

    【答案】分析：（1）根据已知的抛物线解析式，可求得A、B的坐标，在Rt△ABC中，OC⊥AB，利用射影定理的得到OC2=OA•OB（或由相似三角形证得），即可得到OC的长，从而确定C点的坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可确定a的值，从而求出该抛物线的解析式；
    （2）根据（1）所得抛物线的解析式，可求出其顶点坐标，由于函数图象的平移方法已经确定，即沿y轴负半轴向下平移，若抛物线与坐标轴只有两个交点，则有两种情况：
    ①C、O重合，此时抛物线向下平移了OC长个单位，
    ②抛物线的顶点落在x轴上，此时抛物线向下平移的单位长度与（1）的抛物线的顶点纵坐标相同，
    综合上述两种情况，即可求得k的值；
    （3）当C（0，4）时，可根据其坐标确定此时抛物线的解析式，进而求得其顶点D的坐标；P点的移动距离易求得（即OC+OB），而Q点的轨迹是一条曲线，无法直接求得，因此需要化曲为直，间接的和P点的移动距离进行比较；连接CD、BD，根据B、C、D三点坐标，即可求得CD、BD的长，从而确定BD+CD同OC+OB的大小关系，显然Q点移动距离要大于CD+BD，这样就判断出P、Q两点的路程谁大谁小，由于两点的速度相同，那么路程短的就先到达B点．
    解答：解：抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴的交点为A（-1，0）、B（4，0）．
    （1）若△ABC是直角三角形，只有∠ACB=90°．
    由题易得△ACO∽△COB，
    ∴，
    ∴，
    ∴CO=2
    ∵抛物线开口向下，
    ∴C（0，2）
    把C（0，2）代入得：
    （0+1）（0-4）a=2，
    ∴；

    （2）由可得：
    抛物线的顶点为（，），点C（0，2），
    当点C向下平移到原点时，
    平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，
    ∴k=2
    当顶点向下平移到x轴时，
    平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，
    ∴；

    （3）当点C为（0，4）时，抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-4），
    抛物线的顶点为D（，）
    连接DC、DB
    ∵D（，），B（4，0），C（0，4），
    ∴CD=，
    DB=；
    ∴CD+DB=2.7+6.75=9.45
    ∵CO+OB=4+4=8，
    ∴DB+DC＞CO+OB
    由函数图象可知第一象限内的抛物线的长度比CD+DB还要长
    所以第一象限内的抛物线的长度要大于折线C→O→B的长度
    所以点P先到达点B．
    点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、二次函数图象的平移、坐标系两点间的距离公式等重要知识；（3）题中，由于Q点的移动轨迹是条曲线，在求其移动距离时，能够通过辅助线来化曲为直，间接的得出P、Q的路程大小是解决问题的关键．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：抛物线y=ax2-4ax+m与x轴的一个交点为A（1，0）．
    （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
    （2）点C是抛物线与y轴的交点，且△ABC的面积为3，求此抛物线的解析式；
    （3）点D是（2）中开口向下的抛物线的顶点．抛物线上点C的对称点为Q，把点D沿对称轴向下平移5个单位长度，设这个点为P；点M、N分别是x轴、y轴上的两个动点，当四边形PQMN的周长最短时，求PN+MN+QM的长．（结果保留根号）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴的交点为A、B（A在B的左边），与y轴交于点C．连接AC、BC．
    （1）若△ABC是直角三角形（图1），求二次函数的解析式；
    （2）在（1）的条件下，将抛物线沿y轴的负半轴向下平移k（k＞0）个单位，使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，求k的值；
    （3）当点C坐标为（0，4）时（图2），P、Q两点同时从C点出发，点P沿折线C?O?B运动到点B，点Q沿抛物线（在第一象限的部分）运动到点B，若P、Q两点的运动速度相同，请问谁先到达点B？请说明理由．（参考数据：
    		13
    =3.6    ，
    		29
    =5.4    ）
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•永春县质检）在平面直角坐标系中，矩形ABCD与等边△EFG按如图所示放置：点B、G与坐标原点O重合，F、B、G、C在x轴上，AB=3cm，BC=4
    		3
    cm，EF=2
    		3
    cm．
    （1）求△EFG的周长；
    （2）△EFG沿x轴向右以每秒
    		3
    cm的速度运动，当点G移至与点C重合时，△EFG即停止运动，设△EFG的运动时间为t秒．
    ①若△EFG移动过程中，与矩形ABCD的重合部分的面积Scm2，求S与t的函数关系式；
    ②当△EFG移动（
    		3
    +1）秒时，E点到达P点的位置，一开口向下的抛物线y=
    1
    a
    x2+bx    过P、O两点且与射线AD相交于点H，与x轴的另一个交点为Q，若OQ+PH为定值，试求出定值，并求出相应的a的取值范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过点A、B，且其顶点P在⊙C上．
    （1）求∠ACB的大小；
    （2）请直接写出A，B，P三点的坐标；
    （3）试确定此抛物线的解析式；
    （4）在该抛物线上是否存在点D，使△ABD面积等于△ABC面积的3倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    写出一个开口向下的抛物线的解析式
    y=-x2（答案不唯一，只要二次项系数为负数即可）
    y=-x2（答案不唯一，只要二次项系数为负数即可）
    ．

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