Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）；

（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；

（2）点M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+3，（2，2）；（2）（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）；（3）存在，（ ， ）．

【解析】（1）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，根据对称轴方程求出B点的坐标，然后将它们代入抛物线的解析式可求出待定系数的值；OD平分∠BOC，那么直线OD的解析式为y=x，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标；

（2）分两种情况讨论：①以AD为对角线的平行四边形AMDN，此时MD∥x轴，则M、D的纵坐标相同，由此可求得M点的坐标；②以AD为边的平行四边形ADNM，由于平行四边形是中心对称图形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N纵坐标的绝对值相等，可据此求出M点的坐标；

（3）由于BD的长为定值，若△BPD的周长最短，那么PB+PD应该最短，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，连接AD，直线AD与对称轴的交点即为所求的P点，可用待定系数法求出直线AD的解析式，联立抛物线对称轴方程即可得到P点坐标．

解：（1）∵OA=2，

∴A（﹣2，0）．

∵A与B关于直线x=对称，

∴B（3，0），

∵A、B，两点在抛物线y=﹣x2+bx+c上，

∴，

解得；

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．

过D作DE⊥x轴于E．

∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC，

∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，

∴DE=OE，即xD=yD，

∴x=﹣x2+x+3，

解得x1=2，x2=﹣3（舍去），

∴D（2，2）；

（2）分两种情况讨论：

①当AD为平行四边形AMDN的对角线时，

∵MD∥AN，即MD∥x轴，

∴yM=yD，

∴M与D关于直线x=对称，

∴M（﹣1，2）；

②当AD为平行四边形ADNM的边时，

∵平行四边形ADNM是中心对称图形，△AND≌△ANM，

∴|yM|=|yD|，即yM=﹣yD=﹣2，

∴令﹣x2+x+3=﹣2，即x2﹣x﹣10=0；

解得x=，

∴M（，﹣2）或M（，﹣2）．

综上所述：满足条件的M点有3个，即M（﹣1，2）或M（，﹣2）或M（，﹣2）；

（3）∵BD为定值，

∴要使△BPD的周长最小，只需PD+PB最小．

∵A与B关于直线x=对称，

∴PB=PA，只需PD+PA最小．

连接AD，交对称轴于点P，此时PD+PA最小．

由A（﹣2，0），D（2，2）可得直线AD：y=x+1，

令x=，得y=，

∴存在点P（， ），使△BPD的周长最小．