Question

已知，平面直角坐标系上有A（a，0）、B（0，-b）、C（b，0）三点，且a≥b＞0，抛物线y=（x-2）（x-m）-（n-2）（n-m）．（m，n为常数，且m+2≥2n＞0），经过点A和点C，顶点为P
（1）当m，n满足什么关系时，S_△AOB最大；
（3）如图，当△ACP为直角三角形时，判断以下命题是否正确：“直角三角形DEF的三个顶点都在这条抛物线上，且DF∥x轴，那么△ACP与△DEF斜边上的高相等”，如果正确请予以证明，不正确请举出反例．

Answer 1

（1）∵y=（x-2）（x-m）-（n-2）（n-m）=（x-n）（x+n-m-2），
又∵m+2≥2n，即m+2-n≥n，
∴点（m+2-n，0）在点（n，0）右边．
又抛物线过A点和C点，
∴a=m+2-n，b=n，
∵S_△AOB=

1

2

ab=

1

2

（m+2-n）n≤

1

2

[

1

2

（m+2-n）+n]²=

1

8

（m+2）²，
当且仅当m+2-n=n时取“=”，此时m+2=2n，
当m+2=2n时，S_△AOB最大；

（2）命题正确．
理由：∵当△ACP是直角三角形时，AP⊥CP，且|AC|等于P点到x轴距离的2倍．
又∵抛物线y=（x-n）（x+n-m-2）=[x-

1

2

（m+2）]²-

1

4

（m+2）²+n（m+2-n），
∴顶点必然在x轴下方，
∴由 2[

1

4

（m+2）²-n（m+2-n）]=（m+2-n）-n，
化简得：[（m+2）-2n][（m+2）-（2n+2）]=0，
显然A、C不会是同一点，
∴m+2-n＞n，即（m+2）-2n＞0，
∴（m+2）-（2n+2）=0，
得：m=2n，
代回原方程有y=（x-n）（x-n-2），
∴点A（n+2，0），点C（n，0），点P（n+1，-1）．
假设命题成立，
∵DE∥x轴，
∴点F为Rt△DEF的直角．
令D、E的纵坐标均为y=b，则可求的两点的坐标分别为：D（n+1-

b+1

，b），E（n+1+

b+1

，b）．
设点F坐标为（x₀，y₀），
∵DF⊥EF，
∴有

y0-b

x0-(n+1- b+1 )

•

y0-b

x0-(n+1+ b+1 )

=-1，
化简得（x₀-n-1）²+（y₀-b）²=b+1，
又（x₀，y₀）满足y₀=（x₀-n）（x₀-n-2）=[（x₀-n-1）+1][（x₀-n-1）-1]=（x₀-n-1）²-1，
联立两式消去x₀化简得：y₀²+（1-2b）y₀+（b²-b）=0，
求得y₀=b或b-1，舍去y₀=b，故y₀=b-1，
∴F到斜边DE的距离为b-（b-1）=1，这与P到斜边AC距离一样．
综合上述：命题是正确的．