Question

对于题目“如图1，在一个直角三角形的内部作矩形ABCD，其中AB和AD在两直角边上，设AB=xcm，矩形ABCD的面积为ycm²，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？”（答案是当x=20时，y的值最大，最大值是300）．小华同学提出了如下两个问题，你能帮助他解决吗？
如果按图2使矩形的一边BC在斜边EF上，如何解答此时求出来的最大值仍是300cm²吗？你能肯定图1和图2中的两个面积最大的矩形全等吗？请说明理由．

Answer 1

分析：①已知了AB=x，可在Rt△ABE中，用AB的长和∠E的正弦值求出AE的长，进而可表示出AC的长，同理可在Rt△AOD中，用AO的长和∠E的余弦函数求出AD的长，进而可根据矩形的面积公式得出y、x的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值为300，以及此时x的值．（也可用相似三角形来求AD的长，方法不唯一）．
②先根据①和②函数求出矩形各自的长和宽，然后比较即可．

解答：解：如图2：设AB=xcm，矩形ABCD的面积为ycm²
在Rt△OEF中，sin∠E=

3

5

，
∵AB=x，∴AE=AB÷sin∠E=

5

3

x，
AO=40-AE=40-

5

3

x，
AD=AO÷cos∠DAO=AO÷cos∠E=

5

4

（40-

5

3

x）=50-

25

12

x，
∴y=AD×AB=（50-

25

12

x）x，即y=-

25

12

x²+50x
配方整理，得y=-

25

12

（x-12）²+300，
当x=12cm时，y_最大=300cm²
此时矩形ABCD的长BC=25cm，显然图①和图②中的矩形ABCD的面积为300cm²，
由于图①中的矩形的长和宽分别为15cm、20cm，图②中的矩形的长和宽分别为25cm、12cm，
所以图①和图②中的矩形不全等．

点评：本题是二次函数综合题，考查了图象面积的求法，矩形的性质等知识点．