Question

【题目】如图1，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A，D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．

(1)当AM＝时，求x的值；

(2)如图2，连接BM、过B点作BH⊥MN，垂足为H，求证：BM是∠ABH的角平分线；

(3)随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

(4)设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x＝．（2）证明见解析；（3）不变，△DMP的周长为2；（4）S＝(2x－)，面积的最小值为．

【解析】

（1）利用勾股定理构建方程，即可解决问题；

（2）通过证明△BAM≌△BHM进而可得∠ABM＝∠MBH，即可得证；

（3）设AM＝y，则BE＝EM＝x，MD＝1﹣y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长；

（4）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交EF于O，交FH于K．根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可；

解：（1）如图，在Rt△AEM中，AE＝1﹣x，EM＝BE＝x，AM＝，

∵AE2+AM2＝EM2，

∴（1﹣x）2+（）2＝x2，

∴x＝．

（2）∵EB＝EM，

∴∠EBM＝∠EMB．

∵∠EBC＝∠EMN，

∴∠MBC＝∠BMN．

∵AD∥BC，

∴∠MBC＝∠AMB，

∴∠AMB＝∠BMN，

又∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，

∴△BAM≌△BHM．

∴∠ABM＝∠MBH，

∴BM是∠ABH的角平分线；

（3）△DMP的周长不变，为2．

理由：设AM＝y，则BE＝EM＝x，MD＝1﹣y，

在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2+AM2＝EM2，

∴（1﹣x）2+y2＝x2，

解得1+y2＝2x，

∴1﹣y2＝2（1﹣x）

∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D，

∴Rt△AEM∽Rt△DMP，

∴＝，

即＝，

解得DM+MP+DP＝＝2．

∴△DMP的周长不变，为2．

（4）作FH⊥AB于H．连接BM交EF于O，交FH于K．

则四边形BCFH是矩形．

在Rt△AEM中，AM＝＝，

∵B、M关于EF对称，

∴BM⊥EF，

∴∠KOF＝∠KHB，

∵∠OKF＝∠BKH，

∴∠KFO＝∠KBH，

∵AB＝BC＝FH，∠A＝∠FHE＝90°，

∴△ABM≌△HFE，

∴EH＝AM＝，

∴CF＝BH＝x﹣，

∴S＝（BE+CF）BC

＝（x+x﹣）

＝（2x﹣）

＝ [（）2﹣+1]

＝（﹣）2+．

∴S＝（2x﹣），

当＝时，S有最小值＝．