Question

已知：矩形ABCD中，AB=1，点M在对角线AC上，直线l过点M且与AC垂直，与AD相交于点E．
（1）如果直线l与边BC相交于点H（如图1）AM=AC且AD=a，求的AE长（用含a的代数式表示）；
（2）在（1）中，直线l把矩形分成两部分的面积比为2：5，求a的值；
（3）若AM=AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长；
（4）如果直线l分别与边AD，AB相交于点E，F，AM=AC，设AD的长为x，△AEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围（求x的取值范围可不写过程）．

Answer 1

解：
（1）在直角三角形ACD中，根据勾股定理有：AC²=AD²+DC²=a²+1
∵∠AME=∠D=90°，∠EAM=∠CAD
∴△AME∽△ADC，
∴，
∴AE=，
∵AM=AC，
∴AE=；

（2）∵AE∥BC，
∴△AEM∽△CHM，
∴，
∵，
∴=，即CH=2AE=，
∴BH=a-CH=，
∴=，
∴a²=，即a=；

（3）设AE=x，
∵AE∥BC，
∴=，
∵=，即=，
∴=，
设AE=x，则BC=3x，AC=，
∵△AME∽△ADC，
∴，
由于AM=AC，AD=BC，
∴x•3x=（1+9x²），
∴x=，
∴AD=BC=3x=；

（4）由题意可知：，，
∵△AEM∽△ACD
∴=，∴AE=，
同理可得出=，
∴AF=，
则S_△AEF=AE•AF=（≤x≤）．
分析：（1）可先用勾股定理求出AC的长，然后根据相似三角形AME和ADC得出的关于AE，AC，AM，AD的比例关系式求出AE的长；
（2）由于梯形AEHB和梯形EDCH的高相等，因此它们的面积比就是两底和的比．可根据相似三角形AME和CMH得出AE，CH的比例关系，然后用AE表示出CH，BH，进而可根据面积比为2：5得出关于a的方程，即可求出a的值；
（3）可先设AE的长为x，那么可在相似三角形AEM和CMB中得出AE，BC的比例关系，然后用x表示出BC即AD的长，在相似三角形AEM和ACD中，根据AE，AC，AM，AD的比例关系式求出x的值，进而可求出AD的长；
（4）求三角形AEF的面积需要求出AE，AF的长，可在相似三角形AEM和ACD中，根据得出的关于AE，AC，AM，AD的比例关系式求出AE的表达式，同理可通过相似三角形AMF和ABC求出AF的表达式，然后根据三角形的面积公式即可得出y，x的函数关系式．根据（3）中求出的AE，AD的长，要想使直线l与AB，AD有交点，那么x的取值范围就应该是≤x≤．
点评：本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定及性质等知识点，根据相似三角形得出的相关线段成比例来求线段的长是解题的关键．