Question

【题目】问题提出：

（1）如图①在中，是边的高，点是上任意一点，若则的最小值为_　　　　；

（2）如图②，在等腰中，是的垂直平分线，分别交于点，，求的周长；

问题解决：

（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路和，满足点到的距离为.为了节约成本，要使得之和最短，试求的最小值(路宽忽略不计)．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）的最小值为．

【解析】

（1）根据直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短即可求解；

（2）由已知和等腰三角形的性质得出，根据垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形的性质可依次得出，，利用勾股定理求出AB，即可求得的周长；

（3）延长到点，使得，延长到点，使得，连接，则的最小值即为的最小值；通过角的计算可得，可得点在弦所对的劣弧上；过点作于，过点作于，连接，

由即可求得结果．

解：（1）∵是边的高，，

∴，点D到直线BC的距离为3，

∵点是上任意一点，

∴，即，

∴的最小值为3，

故答案为：3．

（2），

是的垂直平分线，

，

，

在中，，

在中，，

∴，

∴，

∴的周长；

（3）如图，延长到点，使得，延长到点，使得，连接，

，，，

的最小值即为的最小值，

，

以为斜边向下作等腰直角三角形，则，

以点为圆心为半径作，F为圆上任意一点，则，

∵，

点在弦所对的劣弧上，

如图，过点作于过点作于，连接，

则，

设则

则，即

解得：，则，

的最小值为，

的最小值为．