Question

【题目】如图，四边形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，BC经过圆心O，且交⊙O于点E，∠A＝120°，∠C＝30°．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）若CD＝6，求BC的长．

（3）若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的最大面积为　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）连接、，根据圆内接四边形的性质得到，求得，又点在上，于是得到结论；

（2）由（1）知：又，设为，则为，根据勾股定理即可得到结论；

（3）连接BD，OA，根据已知条件推出当四边形ABOD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大，当OA⊥BD时，四边形ABOD的面积最大，根据三角形和菱形的面积公式即可得到结论．

解：（1）证明：连接、，

四边形为圆内接四边形，

，

，

，又点在上，

是的切线；

（2）由（1）知：又，

，

设为，则为，

在中，，

即，

，

又，

，

；

（3）连接，，

，

，

，

，，，

，

，

，

当四边形的面积最大时，四边形的面积最大，

当时，四边形的面积最大，

四边形的最大面积，

故答案为：．