Question

如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=2，AO=

5

，求OD的长度．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质可得出，∠OAC=90°，再由已知条件得∠ODB+∠B=90°，由OA=OB可得出∠OAB=∠B，从而得出∠CAB=∠ADC，即AC=CD．
（2）利用勾股定理求出OC，即可得出OD的长．

解答：（1）证明：∵AC是⊙切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠OAB+∠CAB=90°．
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠ODB+∠B=90°．
∵OA=OB
∴∠OAB=∠B，
∴∠CAB=∠ODB．
∵∠ODB=∠ADC，
∴∠CAB=∠ADC
∴AC=CD；

（2）解：在Rt△OAC中，OC=

OA2+AC2

=3，
∴OD=OC-CD，
=OC-AC，
=3-2，
=1．

点评：本题考查了切线的性质和勾股定理，证明线段的相等一般证明这个三角形的两个角相等．