Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，交轴于点，（点在点左侧），顶点为．

（1）求抛物线的解析式：

（2）将沿直线对折，点的对称点为，试求的坐标；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A'（1，4）；（3）存在，P的坐标为或．

【解析】

（1）根据题意将A，B两点坐标分别代入解析式求解即可．

（2）根据A，C坐标可以求得AC的长，再根据三角形相似求AA'，再求坐标即可．

（3）此问转化为圆内圆周角的问题，根据直角三角形求解即可．

解：（1）把A（-1，0），B（4，0）代入得，

，

解方程组得：，

所以二次函数的表达式为．

（2）把x=0代入得y=2，∴C的坐标为（0，2），OC=2

如图2，作A'H⊥x轴于H，

因为，且∠AOC=∠COB=90°，

所以△AOC∽△COB，

所以∠ACO=∠CBO，可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°，

由A'H∥OC，AC=A'C得

OH=OA=1，A'H=2OC=4；

所以A'（1，4）；

（3）分两种情况：

①如图3，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），

由圆周角定理得∠CPB=∠CAB，

易得：．所以．

②如图4，类比第（2）小题的背景将△ABC沿直线BC对折，

点A的对称点为A'，以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P'（BC的上方），

则∠CP2B=∠CA'B=∠CAB．

作M'E⊥A'H于E，交对称轴于F．

则，．

所以．

在Rt△M'P'F中，，

所以．

所以．

综上所述，P的坐标为或．