Question

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．
（1）求N点、M点的坐标；
（2）将抛物线y=x²-36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；
（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；
②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质知：BC=CN=OA，由此可在Rt△OCN中用勾股定理求出ON的长（由此可求出N点的坐标），即可得到NA的值；在Rt△AMN中，用AM表示出MN、BM的值，然后由勾股定理即可求出AM的长，也就得到了M点的坐标；
（2）用a表示出抛物线l的解析式，然后将N点坐标代入其中，即可求出抛物线l的解析式；
（3）①此题的关键是确定P点的位置，若PM-PN最大，那么P点必为直线MN与抛物线对称轴的交点（可由三角形三边关系定理推出），可用待定系数法求出直线MN的解析式，联立抛物线的对称轴方程，即可得到P点的坐标；
②由于DE∥ON，易证得△CDE∽△CON，根据相似三角形得到的比例线段即可求出DE的表达式，以DE为底，P、D纵坐标差的绝对值为高即可得到△DEP的面积，由此可求出关于S、m的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的m的值．

解答：解：如图
（1）∵CN=CB=15，OC=9，
∴ON=

152-92

=12，
∴N（12，0）；
又∵AN=OA-ON=15-12=3，
设AM=x
∴3²+x²=（9-x）²
∴解得：x=4，M（15，4）；

（2）解法一：设抛物线l为y=（x-a）²-36
则（12-a）²=36
∴a₁=6或a₂=18（舍去）
∴抛物线l：y=（x-6）²-36
解法二：
∵x²-36=0，
∴x₁=-6，x₂=6；
∴y=x²-36与x轴的交点为（-6，0）或（6，0）
由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，
所以y=x²-36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x-6）²-36=x²-12x；

（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，
设直线MN的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

12k+b=0 15k+b=4

，
解得

k= 4 3 b=-16

，
∴y=

4

3

x-16，
∴P（6，-8）；
②∵DE∥OA，
∴△CDE∽△CON，
∴

m

9

=

DE

12

DE=

4

3

m；
∴S=

1

2

×

4

3

m×(9+8-m)=-

2

3

m2+

34

3

m
∵a=-

2

3

＜0，开口向下，又m=-

34 3

2×(- 2 3 )

=

34×3

3×4

=

17

2

＜9
∴S有最大值，且S_最大=-

2

3

×(

17

2

)2+

34

3

×

17

2

=

289

6

．

点评：此题考查了勾股定理、二次函数解析式的确定、函数图象的平移、图形面积的求法、三角形三边关系定理以及相似三角形的判定和性质，综合性强，难度偏大．