Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，.动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，设运动的时间为秒，.

（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：_______；

（2）当时，求的值；

（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）经过点的双曲线的值不变.值为.

【解析】

（1）过点P作PE⊥BC于点E，依题意求得P、Q的坐标，进而求得PE、EQ的长，再利用勾股定理即可求得答案，由时间＝距离速度可求得t的取值范围；

（2）当，即时，代入（1）求得的函数中，解方程即可求得答案；

（3）过点作于点，求得OB的长，由，可求得，继而求得OD的长，利用三角函数即可求得点D的坐标，利用反比例函数图象上点的特征即可求得值.

（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1：

∵点B、C纵坐标相同，

∴BC⊥y轴，

∴四边形OPEC为矩形，

∵运动的时间为秒，

∴，

在中，，，，

∴，

即，

点Q运动的时间最多为：(秒) ，

点P运动的时间最多为：(秒) ，

∴关于的函数解析式及的取值范围为：；

（2）当时，

整理，得，

解得：，.

（3）经过点的双曲线的值不变.

连接，交于点，过点作于点，如下图2所示.

∵，，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴.

在中，，，

∴，，

∴点的坐标为，

∴经过点的双曲线的值为.