Question

【题目】如图，在梯形中，,,,,点为边上一动点，作⊥,垂足在边上，以点为圆心，为半径画圆，交射线于点.

（1）当圆过点时，求圆的半径；

（2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围；

（3）将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出次定值.

Answer 1

【答案】（1）x=3 （2） （3）

【解析】

(1)作AM⊥BC、连接AP，由等腰梯形性质知BM=4、AM=3，据此知tanB=tanC= ，从而可设PH=3k，则CH=4k、PC=5k，再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得；

(2)由PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=98k，由△ABE∽△CEH得 ，据此求得k的值，从而得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；

(3)在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG、HN⊥BC，先证△EPQ≌△PHN得EQ=PN，由PH=3k、HC=4k、PC=5k知sinC= 、cosC= ，据此得出NC= k、HN=k及PN=PCNC=k，继而表示出EF、EH的长，从而出答案．

(1)作AM⊥BC于点M，连接AP，如图1，

∵梯形ABCD中，AD//BC，且AB=DC=5、AD=1、BC=9，

∴BM=4、AM=3，

∴tanB=tanC=，

∵PH⊥DC，

∴设PH=3k，则CH=4k、PC=5k，

∵BC=9，

∴PM=BCBMPC=55k，

∴AP=AM+PM=9+(55k) ，

∵PA=PH，

∴9+(55k) =9k，

解得：k=1或k=，

当k= 时，CP=5k= >9，舍去；

∴k=1，

则圆P的半径为3．

(2)如图2，

由(1)知，PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k，

∵BC=9，

∴BE=BCPEPC=98k，

∵△ABE∽△CEH，

∴ ，即 ，

解得：k= ，

则PH= ，即圆P的半径为，

∵圆B与圆P相交，且BE=98k= ，

∴<r<；

(3)在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，

则EG=EF、∠1=∠3、EQ=QG、EF=EG=2EQ，

∴∠GEP=2∠1，

∵PE=PH，

∴∠1=∠2，

∴∠4=∠1+∠2=2∠1，

∴∠GEP=∠4，

∴△EPQ≌△PHN，

∴EQ=PN，

由(1)知PH=3k、HC=4k、PC=5k，

∴sinC= 、cosC= ，

∴NC= k、HN= k，

∴PN=PCNC= k，

∴EF=EG=2EQ=2PN= k，EH= ，

∴，

故线段EH和EF的比值为定值．