Question

如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．
（1）求证：OA=OB；
（2）若∠CAB=35°，求∠CDB的度数．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC≌△BAD，易得∠BAC=∠ABD，再根据等角对等边可得OA=OB；
（2）先根据△ABC≌△BAD，可得AC=BD，而由（1）知OA=OB，根据等式性质可得OC=OD，那么∠OCD=∠ODC，再结合三角形外角性质可得∠ODC+∠OCD=∠OAB+∠OBA，而∠OAB+∠OBA=2∠CAB=70°，于是∠OCD+∠ODC=70°，从而易求∠CDB．

解答：（1）证明：∵△ABC≌△BAD，
∴∠BAC=∠ABD，
∴OA=OB；
（2）解：∵△ABC≌△BAD，
∴AC=BD，
∵OA=OB，
∴AC-OA=BD-OB，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD=∠OAB+∠OBA，
∠OAB+∠OBA=2∠CAB=70°，
∴∠OCD+∠ODC=70°，
∴∠CDB=35°．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角性质，解题的关键是证明OC=OD，得出∠OCD=∠ODC．