Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上的任意一点，探究：BD²+CD²与AD²的关系，并证明你的结论．

Answer 1

探究得到的关系为：BD²+CD²=2AD²
证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BE-BD=CD-CE，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，
∵AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BE-BD）²+AC²-CE²+（CD-CE）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE，
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×BC×BC，
=BD²+CD²，
即：BD²+CD²=2AD²．
分析：探究得到的关系为：BD²+CD²=2AD²，作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD²+CD²=2AD²，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BE-BD=CD-CE，代入求出三者之间的关系即可得证．
点评：本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系．