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    已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD （AD＞BC），BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线精英家教网EH交AD的延长线于点M，交AC于点O，设EC=x．
    （1）求证：AF=DM；
    （2）当EM⊥AC时，用含x的代数式表达AD的长；
    （3）在（2）题条件下，若以MO为半径的⊙M与以FD为半径的⊙F相切，求x的值．
    分析：（1）利用平行线分线段成比例的知识即可得出；
    （2）易得
    EC
    AM
    =
    CO
    AO
    ，故分别用含AD和x的代数式表示出EC、CO、AM和AO，代入即可得出含x的代数式表达的AD；
    （3）结合题意可知，需要分两种情况来解，一种是外切，另一种是内切；分别根据切线的性质，结合题目，列出方程即可得出x的值．
    解答：（1）证明：∵BC∥AD，
    ∴
    EC
    AF
    =
    CG
    AG
    ，
    EC
    DM
    =
    CH
    DH
    ，（2分）
    ∵GH∥AD，
    CG
    AG
    =
    CH
    DH
    ，（1分）
    ∴
    EC
    AF
    =
    EC
    DM
    ，
    ∴AF=DM．（1分）

    （2）解：∵AB⊥BC，AB=8，BC=6，
    ∴AC=10，
    ∵BC⊥AB，EM⊥AC，
    ∴cos∠ACB=
    BC
    AC
    =
    CO
    EC
    ，（1分）
    ∵EC=x，
    ∴
    6
    10
    =
    CO
    x
    ，
    ∴CO=
    3
    5
    x    ，（1分）
    ∵AF=2EC，由（1）知AF=DM，
    ∴DM=2EC，
    ∴DM=2x，
    ∵EC∥AM，
    ∴
    EC
    AM
    =
    CO
    AO
    ，（1分）
    ∴
    x
    AD+2x
    =
    3
    5
    x
    10-
    3
    5
    x
    ，
    ∴AD=
    50-9x
    3
    ．（1分）

    （3）解：∵EM⊥AC，设AD=a，
    ∴FD=a-2x，MO=
    4
    5
    (a+2x)    ，（1分）
    FM=FD+DM=FD+AF=AD=a，
    当⊙F与⊙M相外切时，FD+MO=FM；
    a-2x+
    4
    5
    (a+2x)=a    ，
    解得x=
    100
    21
    ，（1分）
    ∵AD＞BC，即a＞6，
    由x=
    100
    21
    ，得a=
    50
    21
    ＜6    ，与已知不符，
    ∴x=
    100
    21
    （舍）；（1分）
    当⊙F与⊙M相内切时，|FD-MO|=FM，
    ①a-2x-
    4
    5
    (a+2x)=a    ，无解；（1分）
    ②
    4
    5
    (a+2x)-(a-2x)=a    ，
    解，得x=
    25
    9
    ，a=
    25
    3
    ，
    ∵2x＜a，a＞6，
    ∴x=
    25
    9
    ．（2分）
    综上所述，满足条件的x的值为
    25
    9
    ．
    点评：本题主要考查了切线的性质以及平行线成比例的知识和解直角三角形等知识，并且要结合实际情况对题目分情况讨论和对解的值进行合理的取舍，本题具有一定的难度，请同学们多加分析和理解．
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    单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发

    沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止

    运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．

    (1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

    (2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．

    求出此时△APQ的面积．

    (3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

    形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

    (4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

     

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    单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发

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    运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．

    (1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

    (2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．

    求出此时△APQ的面积．

    (3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

    形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

    (4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

     

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