如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.
(1)尺规作图:过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法);
(2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线;
(3)若过A,D,C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.
解:(1)作出圆心O,
以点O为圆心,OA长为半径作圆.
(2)证明:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.
∴AD是⊙O的直径……………1分
连结OC,∵∠A=∠B=30°,
∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A =30°,…………1分
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°.
∴BC⊥OC,
∴BC是⊙O的切线.
(3)存在.
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B, 即DB=DC.
又∵在Rt△ACD中,DC=AD, ∴BD= .
解法一:①过点D作DP1// OC,则△P1D B∽△COB, ,
∵BO=BD+OD=,
∴P1D=×OC=× =.
②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴,
∵BC=
∴.
解法二:①当△B P1D∽△BCO时,∠DP1B=∠OCB=90°.
在Rt△B P1D中,
DP1=.
②当△B D P2∽△BCO时,∠P2DB=∠OCB=90°.
在Rt△B P2D中,
DP2=.
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如图,▱ABCD中,AC⊥AB.AB=6cm,BC=10cm,E是CD上的点,DE=2CE.点P从D点出发,以1cm/s的速度沿DA→AB→BC运动至C点停止.则当△EDP为等腰三角形时,运动时间为 s.
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一次函数y=ax+b(a≠0)、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=k/x在同一直角坐标系中的图像如图所示,A点的坐标为(-2,0),则下列结论中,正确的是 ( )
A.b=2a+k B.a=b+k C.a>b>0 D.a>k>0
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设边长为3的正方形的对角线长为a,下列关于a的四种说法: a是无理数; a可以在数轴上用一个点来表示; 3<a<4; a是18的算术平方根。其中,所有正确说法的序号是
A. B. C. D.
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如图,点P是反比例函数图象上的点,PA垂直轴于点A(-1,0),点C的坐标为(1,0),PC交轴于点B,连结AB,AB=.若M(,)是该反比例函数图象上的点,且满足∠MBA<∠ABC,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
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在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB.
(1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为 ;
(2)连接AC,BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?并求出△ABC的面积的最大值.
(3)连接AD,当OC∥AD时,
①求出点C的坐标;②直线BC是否为⊙O的切线?请作出判断,并说明理由.
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