Question

（2010•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连接OC并延长至点P，使PC=BC，∠BOC=60°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，且AB、PB的长是方程x²+bx+c=0的两根，求b、c的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PC=BC，易得∠P=∠CBP，又由于OB=OC，∠BOC=60°，可证△BOC实等边三角形，于是∠OCB=∠BOC=60°；利用三角形外角的性质，易求∠P=∠CBP=30°，即∠P+∠BOC=90°，再利用三角形内角和定理可求∠OBP=90°，即BP是⊙O的切线；
（2）由OB=1，∠P=30°，易求AB=2，BP=，再利用根与系数的关系可得：AB+BP=-b，AB•BP=c，即可求b、c．
解答：（1）证明：∵PC=BC，
∴∠P=∠CBP，
又∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB=∠BOC=60°，
又∠OCB=∠P+∠PBC，
∴∠P=∠CBP=30°，
在△BOP中，∠P=30°，∠BOP=60°，
∴∠OBP=90°，
∴BP是⊙O的切线；

（2）解：∵OB=1，∠P=30°，
∴AB=2，BP=，
又∵AB、BP是方程x²+bx+c=0的两根，
∴AB+BP=-b，AB•BP=c，
∴b=-2-，c=2．
点评：本题利用了等边对等角、等边三角形的判定和性质、切线的判定、三角形外角性质、根与系数的关系．