Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（﹣2，0），点B（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S△MBC取得最大值时，求点M的坐标；

（3）在直线的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）（2，4）；（3）存在，（1，）或（3，）

【解析】

（1）抛物线的表达式为：：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），故-8a=4，即可求解；

（2）根据题意列出S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，即可求解；

（3）四边形ABMC的面积S＝S△ABC+S△BCM＝6×4+（﹣x2+4x）＝15，，即可求解.

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

故﹣8a＝4，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；

（2）过点M作MH∥y轴交BC于点H，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，

设点M（x，﹣x2+x+4），则点H（x，﹣x+4），

S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S有最大值，此时点M（2，4）；

（3）四边形ABMC的面积S＝S△ABC+S△BCM＝×6×4+（﹣x2+4x）＝15，

解得：x＝1或3，故点M（1，）或（3，）．