Question

如图1，已知双曲线与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为______；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为______；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线于P，Q两点，点P在第一象限．
①说明四边形APBQ一定是平行四边形；
②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由图象性质可知，点A、B关于坐标原点对称，由此可以求出A可求B坐标；
（2）①根据勾股定理或对称性易知OA=OB，OP=OQ因此四边形APBQ一定是平行四边形；
②根据矩形的性质和正方形的性质可以推出它们的可能性．
解答：解：（1）∵双曲线和直线y=k'x都是关于原点的中心对称图形，它们交于A，B两点，
∴B的坐标为（-4，-2），
（-m，-k'm）或（-m，）；

（2）①由勾股定理OA=，
OB==，
∴OA=OB．
同理可得OP=OQ，
所以四边形APBQ一定是平行四边形；
②四边形APBQ可能是矩形，
此时m，n应满足的条件是mn=k；
四边形APBQ不可能是正方形（1分）
理由：点A，P不可能达到坐标轴，即∠POA≠90°．
点评：此题难度中等，它考查了反比例函数、一次函数的图形和性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形和正方形的性质，综合性比较强．