Question

如图，点A、B、F在⊙O上，∠AFB=30°，OB的延长线交直线AD于点D，过点B作BC⊥AD于C，∠CBD=60°，连接AB．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB=6，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OA，只要证明OA⊥AD即可．
（2）根据S_阴影=S_△OAD-S_扇形AOB进行计算即可．

解答：（1）证明：如图，连接OA，
∵∠AFB=30°，点F在⊙O上，
∴∠AOB=60°．
∵∠CBD=60°，
∴∠CBD=∠AOB．
∴OA∥BC．
又∵BC⊥AD，
∴OA⊥AD．
∵点A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形．
∵AB=6，
∴OA=AB=6．
∴tan∠AOD=

AD

OA

．
∴AD=6•tan60°=6

3

．
∴S_△OAD=

1

2

×6

3

×6=18

3

．
∵S_扇形AOB=

60π62

360

=6π，
∴S_阴影=18

3

-6π．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．