Question

已知：如图，点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且OB=OA，将点B绕点A顺时针方向旋转90°至点C．旋转前后的点B和点C都在抛物线y=-x²+bx+c上，
（1）求点B、C的坐标；
（2）求该抛物线的表达式；
（3）联结AC，该抛物线上是否存在异于点B的点D，使点D与AC构成以AC为直角边的等腰直角三角形？如果存在，求出符合所有条件的D点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（2，0），
∴OA=2，
∴OB=OA=1，
∵点B在y轴正半轴上，
∴点B的坐标为（0，1）；
过C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，
∴OA=CD=2，OB=AD=1，
∴OD=OA+AD=3，又C为第一象限的点，
∴点C的坐标为（3，2）；

（2）∵点B和点C都在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴把B（0，1），C（3，2）代入，
得，
解得，
则抛物线的解析式为y=-x²+x+1；

（3）该抛物线上存在点P，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，分三种情况：
（i）若以AC为直角边，点A为直角顶点，则延长BA至点P₁，使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ACP₁，
过点P₁作P₁M⊥x轴，如图所示，

∵AP₁=CA=AB，∠MAP₁=∠OAB，∠P₁MA=∠OBA=90°，
∴△AMP₁≌△AOB，
∴AM=AO=2，P₁M=OB=1，
∴OM=OA+AM=4，
∴P₁（4，-1），经检验点P₁在抛物线y=-x²+x+1上；
（ii）若以AC为直角边，点C为直角顶点，则过点C作CP₂⊥AC，且使得CP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，
过点P₂作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两线交于点N，如图，

同理可证△CP₂N≌△ABO，
∴CN=OA=2，NP₂=OB=1，
又∵C的坐标为（3，2），
∴P₂（1，3），经检验P₂也在抛物线y=-x²+x+1上；
（iii）若以AC为直角边，点C为直角顶点，则过点C作CP₃⊥AC，且使得CP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，
过点P₃作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两线交于点H，如图，

同理可证△CP₃H≌△BAO，
∴HP₃=OA=2，CH=OB=1，
又∵C的坐标为（3，2），
∴P₃（5，1），经检验P₃不在抛物线y=-x²+x+1上；
则符合条件的点有P₁（4，-1），P₂（1，3）两点．
分析：（1）由A点坐标求出OA的长，根据点B在y轴正半轴上，且OB=OA，可求出点B的坐标为（0，1）；过点C作CD垂直于x轴于D，由点B绕点A顺时针方向旋转90°至点C，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，进而求出C的坐标；
（2）将B、C两点的坐标代入抛物线解析式，运用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（3）假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）当以AC为直角边，点A为直角顶点，则延长BA至点P₁，使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP₁，利用AAS可证明三角形AP₁M与三角形ABO全等，得出AP₁与P₁M的长，再由P₁为第四象限的点，得出此时P₁的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当以AC为直角边，点C为直角顶点，则过点C作CP₂⊥AC，且使得CP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，过点P₂作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两线交于点N，如图所示，同理证明三角形CP₂N与三角形AOB全等，得出P₂N与CN的长，由P₂为第一象限的点，写出P₂的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当以AC为直角边，点C为直角顶点，则过点C作CP₃⊥AC，且使得CP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，过点P₃作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两线交于点H，如图所示，同理可证明三角形CP₃H全等于三角形AOB，可得出P₃H与CH的长，由P₃为第一象限的点，写出P₃的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性强，难度较大，解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用．