Question

如图，在平面直角坐标系中，?OABC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在x轴的正半轴上，对角线AC、OB交于点D，且OA、OB的长是方程x²-12x+32=0的两根（OA＜OB）．
（1）求直线AC的函数解析式；
（2）若点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动，连接OP．设△OPD的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若点M是直线AC上一点，则在平面上是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出OA、OB的长度，从而得出点A及点B的坐标，然后根据平行四边形的性质可得出点C的坐标，继而利用待定系数法可得出直线AC的解析式；
（2）需要分两段进行讨论，①点P在线段AD上，②点P在射线DC上，然后根据设出点P的坐标，根据三角形的面积公式即可得出S与t的函数关系式；
（3）根据菱形四边相等的性质，可分两种情况进行讨论，①AB=AM，②BM=AB，③AM=AN，从而可得出点M的坐标，结合菱形的性质可得出点N的坐标．

解答：解：（1）∵OA、OB的长x²-12x+32=0的两根，OA＜OB，
∴OA=4，OB=8，点A坐标为（0，4），点B坐标为（8，0），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴可得点C的横坐标等于点B的横坐标，点C的纵坐标等于点A的纵坐标的相反数，
故点C的坐标为（8，-4），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，则

8k+b=-4 b=4

，
解得：

k=-1 b=4

，
故直线AC的解析式为：y=-x+4；

（2）由（1）可得OB=8，根据平行四边形的性质可得点D坐标为（4，0），
即OA=OD，∠OAD=∠ODA=45°，AD=4

2

，
①当点P在线段AD上时，此时t＜4

2

；

过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，则可得AP=t，
在RT△AEP中，EP=

2

2

t，即点P的横坐标为

2

2

t，
∵点P在直线AC上，
∴点P的纵坐标为：-

2

2

t+4，
此时S_△OPD=

1

2

OD×P_纵坐标=8-

2

t（t＜4

2

）；
②当点P在射线DC上时，此时t＞4

2

PD=AP-AD=t-4

2

，
在RT△PDM中，PM=DPcos∠DPM=DP×

2

2

=

2

2

t-4，
此时S_△OPD=

1

2

OD×P_纵坐标=

2

t-8（t＞4

2

）；

（3）存在符合题意的点N的坐标．

①当AB=AM时，在RT△MAH中，MH=AMcos∠MAH=AMcos∠ADO=2

10

，AH=2

10

，
故点M的坐标为（-2

10

，4+2

10

），
又∵MN平行且相等AB，
设点N坐标为（x，y），则（x+0，y+4）=（-2

10

+8，4+2

10

+0）
∴x=8-2

10

，y=2

10

，
∴点N的坐标为（8-2

10

，2

10

）．
②当BM=AB时，

设点M坐标为（x，-x+4），点N坐标为（a，b），
∵四边形ABMN是菱形，点A（0，4），点B（8，0），
∴（x+0，-x+4+4）=（a+8，b+0），
∴a=x-8，b=-x+8，即点N坐标为（x-8，-x+8），
又∵BM=AB=4

5

，
∴

(x-8)2+(-x+4-0)2

=4

5

，
解得：x=12或x=0（与点A重合，舍去），
故此时点N的坐标为（4，-4）；
③当AB为对角线时，

设点M坐标为（x，-x+4），则点N坐标为（8-x，x），
∵此时AM=AN，
即可得：

(x-0)2+(-x+4-4)2

=

(8-x-0)2+(x-4)2

，
解得：x=

10

3

，
则此时点N的坐标为（

14

3

，

10

3

）．
综上可得符合题意的点N的坐标为（8-2

10

，2

10

）或（4，-4）或（

14

3

，

10

3

）；

点评：此题属于一次函数综合题，涉及了菱形的性质、两点间的距离公式及解直角三角形的知识，难点在第三问，关键是先确定点M的位置，注意分类讨论，不要漏解，难度较大．