Question

【题目】如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与、分别交于点、，与的另一个交点为.过点作，垂足为.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求弦的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，ND，可知∠CND=90°，再证，即可证，最后根据切线的定义求得答案；

（2）根据勾股定理和，，可知，设半径为，根据勾股定理可求出r值，过作于，则，可知四边形是矩形，从而可知OH，再次根据勾股定理即可求出DH，最后即可求出答案.

证明：（1）

连接，，

在中，为斜边中线，

∴，

∵是的直径.

∴，

∴，

∵等腰三线合一，

∴，

∵在中，为斜边的中点，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是的半径，

∴是的切线.

（2）∵在中，且，，

∴，

设半径为，

则，

∴，

在中，，即，

在中，，即，

∵在等腰中，，

∴，

∴，

解得：，

过作于，

则，

由（1）可知∠ONF=∠NFH=90°

∴四边形是矩形，

则，

在中，，

∴，

∴.