Question

已知抛物线y=x²﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）²．
（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；
（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）y=x²﹣4x+3．

解析试题分析：（1）由判别式△=（k+2）²﹣4×1×=k²﹣k+2=（k﹣）²+＞0，即可证得无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）由抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，可得x₁•x₂=，x₃=﹣（k+1），继而可求得答案；
（3）由CA•GE=CG•AB，易得△CAG∽△CBE，继而可证得△OAD∽△OBE，则可得，又由抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，可得OA•OB=，OD=，OE=（k+1）²，继而求得点B的坐标为（0，k+1），代入解析式即可求得答案．
试题解析：（1）证明：∵△=（k+2）²﹣4×1×=k²﹣k+2=（k﹣）²+，
∵（k﹣）²≥0，
∴△＞0，
∴无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）解：∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，
∴x₁•x₂=，
令0=（k+1）x+（k+1）²，
解得：x=﹣（k+1），
即x₃=﹣（k+1），
∴x₁•x₂•x₃=﹣（k+1）•=﹣（k+）²+，
∴x₁•x₂•x₃的最大值为；
（3）解：∵CA•GE=CG•AB，
∴，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴，
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，
∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）²，
∴OA•OB=OD，
∴，
∴OB²=OE，
∴OB=k+1，
∴点B（k+1，0），
将点B代入抛物线y=x²﹣（k+2）x+得：（k+1）²﹣（k+2）（k+1）﹣=0，
解得：k=2，
∴抛物线的解析式为：y=x²﹣4x+3．
考点：二次函数综合题