Question

【题目】如图，已知二次函数y＝+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C（0，﹣2），一次函数y＝x+n的图象经过A，C两点，点P为直线AC下方二次函数图象上的一个动点，直线BP交线段AC于点E，PF⊥AC于点F．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求的最大值及此时点P的坐标；

（3）连接CP，是否存在点P，使得Rt△CPF中的一个锐角恰好等于2∠BAC？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）m＝2时，有最大值为，此时P点坐标为（2，﹣3）；（3）P点坐标是（2，﹣3）或

【解析】

（1）求出A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）过点B作BM∥y轴交AC于点M，过点P作PN∥y轴交AC于点N，可得PN∥BM，则△BME∽△PNE，则，可求出BM＝，设P（），可表示PN长，则可得关于m的二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，求得D（，0），得到DA＝DC＝DB＝，过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC于G，情况一：如图，∠PCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，情况二，∠FPC＝2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．

解：（1）由C（0，﹣2），可知一次函数解析式为y＝，

当y＝0时，x＝4，即A（4，0），

将A，C点坐标代入函数解析式，得

，

解得：，

抛物线的解析是为y＝；

（2）如图1，过点B作BM∥y轴交AC于点M，过点P作PN∥y轴交AC于点N，

∴PN∥BM，

∴△BME∽△PNE，

∴，

∵B（﹣1，0），

∴x＝﹣1时，y＝﹣，

∴M（﹣1，﹣，

∴BM＝，

设P（），则N（），

∴，

，

∴当m＝2时，有最大值为，此时P点坐标为（2，﹣3）；

（3）如图2，

∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2），

∴AC＝，BC＝，AB＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，

∴D（，0），

∴DA＝DC＝DB＝，

∴∠CDO＝2∠BAC，

∴tan∠CDO＝tan（2∠BAC）＝，

过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，

情况一：如图2，

∵∠PCF＝2∠BAC＝∠PGC+∠CPG，

∴∠CPG＝∠BAC，

∴tan∠CPG＝tan∠BAC＝，

即，

设P（a，），

∴PR＝a，RC＝﹣，

∴，

∴a1＝0（舍去），a2＝2，

∴xP＝2，y＝，P（2，﹣3），

情况二，∴∠FPC＝2∠BAC，

∴tan∠FPC＝，

设FC＝4k，

∴PF＝3k，PC＝5k，

∴FG＝6k，

∴CG＝2k，PG＝k，

∴，

∴，

∴，

∴a1＝0（舍去），，

x＝时，y＝﹣，

即P．

综上所述：P点坐标是（2，﹣3）或