Question

【题目】在正方形中，点是对角线上的动点（与点不重合），连接．

（1）将射线绕点顺时针旋转45°，交直线于点．

①依题意补全图1；

②小研通过观察、实验，发现线段，，存在以下数量关系：

与的平方和等于的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：

想法1：将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，要证的关系，只需证的关系．

想法2：将沿翻折，得到，要证的关系，只需证的关系．

…

请你参考上面的想法，用等式表示线段的数量关系并证明；（一种方法即可）

（2）如图2，若将直线绕点顺时针旋转135°，交直线于点．小研完成作图后，发现直线上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①补全图形，如图1所示，见解析；②；理由见解析；（2）；理由见解析.

【解析】

（1）①根据题意补全图形即可；

②过作，使，连接，由正方形的性质得出，，，由证明，得出，证出，由证明，得出，证出，在中，由勾股定理即可得出结论；

（2）过作，使，连接，由证得：，得出，再由证得：，得出，，证出，得出，在中，由勾股定理即可得出结论．

解：（1）①补全图形，如图1所示：

②；理由如下：

过作，使，连接，如图2所示：

∵四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴；

（2）；理由如下：

过作，使，连接，

∵直线绕点顺时针旋转135°，交直线于点，

∴，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴．