分析 (1)首先由∠QBE=∠PBC,∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB与△QCB均为直角三角形,再证得△PAB≌△QCB,可得结论;
(2)由(1)可知QC=PA,设正方形的边长AB=a,PA=x,利用方程思想和勾股定理,等量代换易得ax,可得结果.
解答 (1)证明:∵∠QBE=∠PBC,∠QBE+∠QBC=90°,
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°,
∵∠PBC+∠PBA=90°,
∴∠PBA=∠QBC,
在Rt△PAB和Rt△QCB中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠QCB}\\{AB=CB}\\{∠PBA=∠QBC}\end{array}\right.$,
∴△PAB≌△QCB(ASA),
∴PB=QB,
∴△PBQ是等腰直角三角形;
(2)解:设正方形的边长AB=a,PA=x,
∵△PAB≌△QCB,
∴QC=PA=x,
∴DQ=DC+QC=a+x,PD=AD-PA=a-x,
在Rt△PAB中,PB2=PA2+AB2=x2+a2,
∵PQ2=PB2+PD2+1,
∴(a-x)2+(a+x)2=x2+a2+(a-x)2+1,
解得:2ax=1,
∴ax=$\frac{1}{2}$,
∵△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$PA•PB=$\frac{1}{2}$ax=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质,正方形的性质,利用方程思想和勾股定理得出AB•PA是解答此题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 有两个角是60°的三角形 | B. | 有一个角是60°的等腰三角形 | ||
C. | 有两个外角相等的等腰三角形 | D. | 三边都相等的三角形 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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