Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为．直线交轴于点，交抛物线于点．

求抛物线的表达式及点的坐标；

点是抛物线上的动点，若以，，，为顶点的四边形仅有一组对边平行，求点的坐标；

连接，点在直线上，设点到直线的距离为，点到点的距离为，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）点的坐标为；（2）点坐标为，，；（3）12.

【解析】

（1）设抛物线顶点式解析式y＝ax2＋1，然后把点P的坐标代入进行计算即可得解；求出抛物线与x轴的交点A、B，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线DB的解析式，令x＝0求出y的值即可得到点D的坐标；

（2）根据四边形仅有一组对边平行，分①AP∥BE，求出直线AP的解析式，再根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；②AB∥PE，根据抛物线的对称性可得点E与点P关于y轴对称；③BP∥AE，根据平行直线的解析式的k值相等求出AE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；

（3）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据点A、B、P的坐标可以求出∠APM＝60°，∠BPM＝30°，∠APN＝30°，然后求出PA是∠BPN的平分线，过点F作FH⊥PN于点H，连接DF、DH，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FH＝m，根据三角形的三边关系可得当点D、F、H三点共线时，m＋n的值最小，此时，点F为直线AP与y轴的交点，m＋n＝PN，然后求解即可．

∵抛物线顶点为，

∴设抛物线的解析式是，

又∵点在抛物线上，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为；

令，则，

解得，，

∴点，点，

设直线的解析式为，

则，

解得，

∴直线的解析式为，

令，则，

所以，点的坐标为；

①时，设直线的解析式为，

则，

解得，

所以，直线的解析式为，

设直线的解析式为，

则，

解得，

所以，直线的解析式为，

解得，（为点的坐标），

所以点的坐标为；

②时，∵抛物线关于轴对称，

∴点为点关于轴的对称点，

∴点；

③时，∵直线的解析式为，

∴设直线的解析式为，

则，

解得，

∴直线的解析式为，

解，得，（为点坐标），

所以，点坐标为，

综上所述，点坐标为，，；

如图，过点作轴于点，轴于点，

∵，，，

∴，

，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

点在直线上，过点作于点，根据角平分线的性质可得，

连接、，根据三角形的三边关系，，

即，

所以，当点、、三点共线时，的最小值，

此时，点为直线与轴的交点，点、重合，

最小值．