Question

如图，点A（4，m）在一次函数y=2x-4和二次函数y=ax²的图象上，过点A作直线y=n的垂线，垂足为E，点E关于直线y=2x-4的对称点F在y轴上，点C是直线y=2x-4与y轴的交点．
（1）求二次函数解析式；
（2）求实数n的值；
（3）二次函数y=ax²的图象上是否存在一点P，且满足PA=PC？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据点A（4，m）在一次函数y=2x-4和二次函数y=ax²的图象上，代入首先求得m的值，进而确定A坐标的具体值，再代入确定a的值．此时二次函数解析式确定．
（2）过E作AC的垂线EF交y轴于点F．由（1）知A点的坐标为（4，4），则E点的坐标为（4，n），并设F点的坐标为（0，k）．根据EF垂直于AC写出EF的斜率，再根据E、F点的坐标写出直线EF关于n、k的表达式．根据AF=AE，根据坐标点A、E、F写出关于n、k的表达式．联立解得n的值．
（3）设存在P点的坐标为（t，

1

4

t2）．根据C是直线y=2x-4与y轴的交点确定出C点的坐标．利用PA=PC与两点间的距离公式求出t的值，代入即可求出P点的具体值．

解答：解：（1）∵点A（4，m）在一次函数y=2x-4图象上
∴m=2×4-4=4，即A点的坐标为（4，4）
∵点A（4，4）二次函数y=ax²的图象上
∴4=a×4²，即a=

1

4

∴二次函数解析式是y=

1

4

x2

（2）由（1）知A点的坐标为（4，4），则E点的坐标为（4，n）
设F点的坐标为（0，k），由M点在直线AC上可知M（

n+4

2

，n），
则EM=4-

n+4

2

=

4-n

2

，AE=4-n，
∵直线EF⊥AC，∴△EFG∽△AME，
∴

FG

ME

=

EG

AE

，即

FG

4-n 2

=

4

4-n

，解得FG=2，
由AF=AE，得

(4-n-2)2+42

=4-n，解得n=-1；

（3）设存在P点的坐标为（t，

1

4

t2）
∵点C是直线y=2x-4与y轴的交点
∴点C的坐标为（0，-4）
∵PA=PC
∴

(t-4)2+( 1 4 t2-4)2

=

(t-0)2+( 1 4 t2+4)2

?t²+2t-4=0，解得t=-1+

5

或t=-1-

5

则P点的坐标为（-1+

5

，

3- 5

2

）或（-1-

5

，

3+ 5

2

）
答：y=

1

4

x²；n=-1；P（-1+

5

，

3- 5

2

）或（-1-

5

，

3+ 5

2

）

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、一次函数图象交点的求法、两点间的距离公式等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．