Question

【题目】如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，

（1）求证：△ABQ ≌ △CAP；

（2）∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（3）连接PQ,当点P,Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）无变化，∠CMQ=60 ；（3）t=s或s时, △PBQ是直角三角形.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ACP，根据三角形的外角的性质解答；
（3）分∠PQB=90°和∠PBQ=90°两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
∵点P、Q的速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP；
（2）解：∠CMQ的大小不发生变化，理由如下：
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°；
（3）解：设点P，Q运动x秒时，△PBQ是直角三角形，
则AP=BQ=x，PB=（4-x），
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴BP=2BQ，即4-x=2x，
解得，x=，
当∠PBQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，即2（4-x）=x，
解得，x=，
∴当点P，Q运动秒或秒时，△PBQ是直角三角形．