Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， 过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E ，连结AC、BC、AE。
（1）求证：①∠DCB=∠CAB； 
②CD·CE=CB·CA；
（2）作CG⊥AB于点G。若（k＞1），求的值（用含k的式子表示）。

Answer 1

（1）证明：①如图1，
解法一：作直径CF，连结BF
∴ ∠CBF=90°，
则 ∠CAB=∠F =90°-∠1
∵ CD切⊙O于C，
∴ OC⊥CD ，
则 ∠BCD =90°-∠1
∴ ∠BCD =∠CAB

解法二：如图2，连结OC
∵ AB是直径，
∴ ∠ACB=90°
则∠2 =90°-∠OCB
∵ CD切⊙O于C，
∴ OC⊥CD
则 ∠BCD =90°-∠OCB
∴ ∠BCD =∠2
∵ OA=OC，
∴ ∠2 =∠CAB
∴ ∠BCD =∠CAB 
② ∵ EC∥AB ，∠BCD =∠3，
∴ ∠4 =∠3=∠BCD
∵ ∠CBD+∠ABC=180°，
∵ ∠AEC+∠ABC=180°，
∴ ∠CBD=∠AEC
∴ △ACE∽△DCB
∴
∴

（2）连结EB，交CG于点H，
∵ CG⊥AB于点G， ∠ACB=90°
∴ ∠3=∠BCG
∵ ∠3 =∠4
∴
∴ ∠3=∠EBG
∴ ∠BCG=∠EBG
∵ （k＞1），
∴ 在Rt△HGB中，
在Rt△BCG中，
设HG =a，则BG= ka，CG= k²a。CH=CG-HG=（k²-1）a
∵ EC∥AB ，
∴ △ECH∽△BGH
∴
解法二： 如图3，
作直径FC，连结FB、EF，则∠CEF=90°
∵CG⊥AB于点G，
在Rt△ACG中，
设CG =a，则AG= ka，，CF=AB=AG+BF=（）a
∵ EC∥AB ， ∠CEF=90°，
∴直径AB⊥EF
∴EF=2CG= a
EC=
∴

解法三：如图4，
作EP⊥AB于点P，
在Rt△ACG中，
设CG =a，则AG= ka，，
可证△AEP≌△BCG，
则有
EC=AG-AP=
∴。