Question

【题目】如图，在中，是直径，是弦，，连接交于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）过点作于，交于，已知，．求的长；

（3）在（2）的条件下，求△的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）．

【解析】

（1）连接BE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，∠B+∠EAB=90°，，从而得到∠DAE+∠EAB=90°，即AD⊥AB，问题得解；

（2）延长EF交⊙O于H，证明△EAG∽△CAE，得出，求出AE长，求出CG=GE=3，则AC=AG+3，可得出，解出AG=5；

（3）过点G作GM⊥AE，设ME=x，则AM=，利用勾股定理列方程求ME的长，从而求MG的长，求出△AEG的面积，然后由等高三角形面积比等于底边之比求△ECG得面积，从而使问题得解．

解：（1）连接BE

在中，是直径，

∴∠AEB=90°，∠B+∠EAB=90°，

又∵

∴∠DAE+∠EAB=90°，即AD⊥AB

∴是的切线；

（2）延长EF交⊙O于H，

∵EF⊥AB，AB是直径，

∴，

∴∠EBA=∠AEH，

∵∠EAG=∠CAE，

∴△EAG∽△CAE，

∴，

∵AC=AD，

∴∠D=∠C，

∵∠C=∠DAE，

∴∠D=∠DAE，

∴AE=DE=2，

又∠BFE=∠BAD=90°，

∴AD∥EF，

∴∠D=∠CEF，

∴∠C=∠CEF，

∴CG=GE=3，

∴AC=AG+CG=AG+3，

∴，

∴AG=-8（舍）或AG=5，

即AG的长为5．

（3）过点G作GM⊥AE

由（2）可知，AE=，AG=5，CG=EG=3

设ME=x，则AM=

根据勾股定理可得，解得

∴MG=

∴

又∵

∴

∴．