Question

已知：如图，等边△ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合），连接AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F．
（1）求△BDE和△DCF的周长和；
（2）设CD长为x，△BDE的周长为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BDE是直角三角形时，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DE=AB，DF=AF，然后得出△BDE和△DCF的周长和等于△ABC的周长，从而得解；
（2）先用CD表示出BD，然后再利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AE=DE，所以△BDE的周长等于AB+BD，整理即可；
（3）因为直角三角形的直角不明确，所以分①当∠BED=90°时，②当∠EDB=90°时，分别用BD表示出BE、DE的长度，然后利用BE+DE=AB列式求解即可．

解答：解：（1）∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF．（1分）
∴C_△BDE+C_△CDF=BE+BD+DE+CD+DF+CF=BC+AC+AB．（1分）
∵BC=AC=AB=4，
∴C_△BDE+C_△CDF=12．（1分）

（2）∵CD=x，BC=4，
∴BD=4-x．（1分）
∵DE=AE，
∴C_△BDE=AB+BD，
即y=4+4-x=8-x，
所以，y=8-x．（1分）
定义域为0＜x＜4．（1分）

（3）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°．
①当∠BED=90°时，∠BDE=30°，
∴BE=

1

2

BD=

1

2

（4-x），DE=

3

2

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴

1

2

（4-x）+

3

2

（4-x）=4，
解得x=8-4

3

．（1分）
②当∠EDB=90°时，∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（4-x），DE=

3

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴2（4-x）+

3

（4-x）=4，
解得x=4

3

-4．（1分）
综上所述，当△BDE是直角三角形时，CD的长为8-4

3

或4

3

-4．（1分）

点评：本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，有一定综合性，（3）注意要分情况讨论，避免漏解．